Contoh Soal Penerapan Turunan Kalkulus

1. Misal seorang peneliti ingin mengetahui volume (V) suatu kubus, tentu yang perlu dia lakuan adalah mengukur panjang rusuk kubus tersebut kemudian menghitung volumenya. Berdasarkan hasil pengukurannya, diketahui panjang rusuk 11,4 cm dengan kemungkinan kesalahan kurng lebih 0,5 cm. Maka volume kubus beserta taksiran kesalahannya sebesar kurang lebih ... dari 1482 cm^3

Jawaban 19

2. Pak Eko ingin membuat kandang berbentuk persegi panjang seluas 324 m^2 untuk ayam peliharaannya. Kandang tersebut akan dipagari dengan kawat duri seharga Rp12.000,00 per meter. Pernyataan berikut yang benar adalah ....

Jawaban Biaya pemasangan kawat minimum sebesar Rp864.000,00

3. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi heart meter setelah t detik dirumuskan dengan h(t)=120t - 5t^2, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah ... meter.

Jawaban 720

Pembahasan :  

h(t) = 120t – 5t²  

Agar diperoleh ketinggian maksimum maka

h’(t) = 0

120 – 10t = 0

-10t = -120

t = 12  

ketinggian maksimum yang dicapai peluru diperoleh saat t = 12 detik yaitu

h(t) = 120t – 5t² 

h(12) = 120(12) – 5(12)² 

h(12) = 1.440 – 5(144)

h(12) = 1.440 – 720

h(12) = 720 m  

jadi ketinggian maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah 720 m  

CARA LAIN  

Dengan menggunakan materi pada fungsi kuadrat

h(t) = 120t – 5t² 

a = -5, b = 120, c = 0

Nilai maksimum dari h(t)

= D/(-4a)

= (b² – 4ac)/(-4a)

= (120² – 4(-5)(0)) / (-4(-5))

= (14.400 + 0) /  20

= 14.400/20

= 720

Jadi ketinggian maksimumnya 720 m  

4. Jika suatu partikel bergerak dengan persamaan kecepatan v=4t^2-16t+36 (dengan t adalah fungsi waktu). Bagaimana persamaan percepatannya?

Jawaban a=8t-16

5. Jika biaya untuk memproduksi x bungkus keripik pisang adalah (1/4x^2 + 25x + 25) ribu rupiah. dan apabila setiap bungkus keripik dijual dengan harga (55 - 1/2 x) ribu rupiah, maka keuntungan maksimal yang dapat diperoleh adalah ... rupah.

Jawaban: 275.000,00

1. Jika suatu perusahaan memproduksi dan menjual x buah barang. Karena keterbatasan modal, perusahaan tersebut perlu memproduksi barang dalam jumlah terbatas, tetapi tetap memperoleh keuntungan besar. Karena keterbatasan itulah perusahaan perlu menganalisis dan menganalisa berbagai faktor, sehingga diperoleh rumusan setiap barang produksi yang terjual memberikan keuntungan (225x – x^2) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi dan dijual adalah

Pembahasan :

Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x-x²) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah barang

Pada soal ini kita akan mempelajari tentang turunan dari fungsi

Agar suatu fungsi mencapai keuntungan maksimal ataupun minimal, maka turunan pertama dari fungsi tersebuut harus sama dengan nol

Rumus umum fungsi :

f(x) = axⁿ + b

f¹(x) = a.n.xⁿ⁻¹

Diketahui :

Sebuah perusahaan x memproduksi x buah barang

U(x) = (225x - x²) rupiah

Ditanya :

Banyak barang yang harus diproduksi agar mencapai keuntungan maksimum ?

DIjawab :

Pertama-tama kita cari dahulu keuntungan dari x buah barang

U(x) = (225x - x²) rupiah

U(x) = x(225x - x²) rupiah

U(x) = (225x² - x³) rupiah

Agar mendapatkan keuntungan maksimal. maka turunan pertama harus sama dengan nol

U(x) = (225x² - x³)

U¹(x) = 450x - 3x² = 0

450x - 3x² = 0

Kita bagi dengan 3

150x - x² = 0

x(150 - x) = 0

x = 0

150 - x = 0

x = 150

∴ Jadi banyak barang yang harus diproduksi agar mencapai keuntungan maksimum adalah 150 buah barang

2. Jika suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari (3x – 900 + 120/x) ratusan ribu rupiah. Agar biaya minimum maka proyek tersebut perlu diselesaikan dalam waktu ... hari.

Supaya biaya proyek tersebut mencapai minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 150 hari

Pembahasan :

Biaya perharinya = (3x - 900 + 120/x)

Sementara, biaya selama x hari adalah :

Biaya = x (3x - 900 + 120/x)

Biaya = 3x² - 900x + 120

Agar tercapai pengeluaran minimum, maka turunan pertama harus = 0 

f'(x) = 0

0 = 6x - 900

900 = 6x

x = 900/6

x = 150 hari

Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 150 hari

Misalnya seorang peternak ayam memiliki kawat berduri sepanjang 100m yang akan digunakan untuk membuat dua kandang ayam berpagar yang sama besar (identik) dan berdampingan (pembatas tengahnya tidak didouble). Berapa ukuran panjang dan lebar kadang ayam tersebut agar luasnya maksimal?

.

50/3 m dan 25 m

Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 18 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting sepanjang x cm pada setiap pojok karton. Volume kotak terbesar yang dapat dibentuk adalah ... cm^3.

V(x) = s² × t

  = (18-2x)² x

  = 324x - 72x² + 4x³

V'(x) = 0

324 - 144x + 12x² = 0

27 - 12x + x² = 0

(x - 3)(x - 9) = 0

x = 3 atau x = 9

V(3) = (18- 2.3)² . 3

       = 144 . 3

       = 432  (maksimum)

V(9) = (18- 2.9)² . 9

       = 9

Jadi volume kotak terbesar adalah 432 cm^3

Share this post